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뇌터 가군

뇌터 가군(Noetherian module)이란 포함 관계를 순서로 하는 부분 가군의 집합이 오름 사슬 조건을 만족하는 가군을 말한다.

== 정의 ==
[math(R-)]가군 [math(M)]이 다음의 동치 관계를 만족할 때 M을 뇌터 가군이라고 한다.

1. [math(M)]의 부분 가군의 집합은 오름 사슬 조건을 만족한다.
2. 모든 공집합이 아닌 [math(M)]의 부분 가군의 집합은 극대 원소를 가진다.
3. 모든[math(M)]의 부분 가군은 유한 생성 가군이다.

== 동치 관계의 증명 ==
* [math((1)⇔(2))] : 오름 사슬 조건은 극대 원소 조건과 동치이다.
* [math((2)⇒(3))] : [math(N)]을 [math(M)]의 부분 가군, [math(S)]를 [math(N)]의 모든 유한 생성 부분 가군의 집합이라고 하자. [math((0)∈S)]이므로 [math(S)]는 공집합이 아니고, 따라서 극대 원소 [math(L)]을 가진다. 임의의 [math(x∈N)]에 대해[math(L+Rx)]는 [math(N)]의 유한 생성 부분 가군이고, [math(L)]은 극대 원소이므로 [math(L+Rx=L, x∈L, N⊂L, N=L)]이므로 [math(N)]은 유한 생성 가군이다.
* [math( (3)⇒(1))]: [math((Mn))]([math(n)]은 자연수)을 [math(M)]의 부분 가군을 원소로 하는 임의의 오름 사슬이라고 하자. [math(N=⋃Mn)]는 [math(M)]의 부분 가군이고, 따라서 생성원 [math(x1,x2,⋯,xm)]을 가진다. [math(xj∈Mj)]인 최대의 자연수 [math(j)]를 [math(ni)]라 하고, [math(ni)] 중 최대인 것을 [math(n0)]이라 하면, [math(x1,x2,⋯,xm∈Mn0, N⊂Mn0, N=Mn0)]이므로 사슬 [math((Mn))]은 [math(Mn0)]에서 멈추고, 오름 사슬 조건을 만족한다.

== 뇌터 가군이 아닌 것 ==
* 프뤼퍼 군
* 원군

== 인터위키 ==
* [[inter:위키백과:뇌터 환]]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[http://archive.ph/e28R0|링크]])]