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뇌터 가군(Noetherian module)이란 포함 관계를 순서로 하는 부분 가군의 집합이 오름 사슬 조건을 만족하는 가군을 말한다.

TOC

1. 정의
2. 동치 관계의 증명
3. 인터위키

1. 정의 (Edit) (-)

가군 이 다음의 동치 관계를 만족할 때 M을 뇌터 가군이라고 한다.

1. 의 부분 가군의 집합은 오름 사슬 조건을 만족한다.
2. 모든 공집합이 아닌 의 부분 가군의 집합은 극대 원소를 가진다.
3. 모든의 부분 가군은 유한 생성 가군이다.

2. 동치 관계의 증명 (Edit) (-)

  • : 오름 사슬 조건은 극대 원소 조건과 동치이다.
  • : 의 부분 가군, 의 모든 유한 생성 부분 가군의 집합이라고 하자. 이므로 는 공집합이 아니고, 따라서 극대 원소 을 가진다. 임의의 에 대해의 유한 생성 부분 가군이고, 은 극대 원소이므로 이므로 은 유한 생성 가군이다.
*: (은 자연수)을 의 부분 가군을 원소로 하는 임의의 오름 사슬이라고 하자. 의 부분 가군이고, 따라서 생성원 을 가진다. 인 최대의 자연수 라 하고, 중 최대인 것을 이라 하면, 이므로 사슬 에서 멈추고, 오름 사슬 조건을 만족한다.

3. 인터위키 (Edit) (-)